REC.2013.28

Vu les pièces du dossier, d'où ressortent les faits suivants:

A.

Arrivée en Suisse en 2003 au bénéfice d'un visa touristique, X., ressortissante algérienne née le [***] 1969 (ci-après: l'intéressée, respectivement: la recourante), s'est mariée le 6 [***] 2005 avec Y., ressortissant algérien né le [***] 1963 et titulaire d'une autorisation d'établissement (ci-après: l'époux, respectivement: l'ex-époux). Le 28 février 2004, le couple a eu un enfant, Z. (ci-après: le fils ou l'enfant).

B.

Le 22 février 2005, l'intéressée a déposé plainte contre son époux pour voies de faits, menaces et injures. Elle l'a retirée le lendemain.

C.

Le 2 décembre 2005, le service des étrangers (actuellement: le service des migrations, ci-après: le SMIG), a refusé l'octroi d'une autorisation de séjour à l'intéressée ainsi qu'à son fils, l'époux ayant fait l'objet d'une décision d'expulsion du territoire suisse en date du 19 octobre 2005, au motif qu'il était tombé dans une large mesure et d'une manière continue à la charge de l'assistance publique.

D.

Suite à un recours de l'intéressée et de son fils, le SMIG a, en date du 9 mai 2007, annulé la décision du 2 décembre 2005 en raison des activités lucratives exercées par les époux. Une autorisation de séjour par regroupement familial a donc été octroyée à l'intéressée, sous réserve du maintien d'une complète indépendance financière jusqu'au 6 janvier 2008. Quant à l'enfant, il s'est vu octroyer une autorisation d'établissement.

E.

Le 12 août 2007, respectivement le 13 août 2007 A. et B. (ci-après: sa fille) sont arrivés en Suisse et ont déposé une demande de regroupement familial auprès de leur mère, l'intéressée. Le 13 février 2008, une autorisation de séjour a été octroyée à A.et B. pour ce motif.

F.

Le 21 mars 2008, les époux ont porté plainte l'un contre l'autre pour lésions corporelles simples, voies de fait, contraintes, menaces et injures. A cette occasion, l'époux a été expulsé du domicile conjugal pour une durée de quatre jours par la juge d'instruction.

G.

Le 15 septembre 2008, l'intéressée a informé le SMIG être séparée de son époux depuis le mois de juin 2008. Après vérification, l'ordonnance de mesures protectrices de l'union conjugale ratifiée le 6 juin 2008 par le Tribunal civil du district de Neuchâtel (actuellement: Tribunal régional du Littoral et du Val-de-Travers) a indiqué que la séparation avait débuté en avril 2008. Les époux ont à cette occasion décidé que la garde de l'enfant serait confiée à l'intéressée et que l'époux s'engagerait à verser une contribution d'entretien mensuelle de Fr. 580.- pour l'enfant, allocations familiales en sus, et qu'il bénéficierait également d'un droit de visite sur l'enfant.

H.

Par ordonnance du 12 décembre 2008, le Tribunal de police du district de Neuchâtel (actuellement: Tribunal régional du littoral et du Val-de-Travers) a rendu une décision de non-lieu aux plaintes déposées par les époux en date du 21 mars 2008, dans la mesure où les parties avaient accepté que la procédure soit suspendue pendant une période de six mois et que cet accord n'a pas été révoqué.

I.

Le 1er avril 2011, l'intéressée a déposé une demande de prestation de l'assurance-invalidité.

J.

Le 21 avril 2011, le divorce des époux a été prononcé par le Tribunal régional du littoral et du Val-de-Travers. L'autorité parentale conjointe sur l'enfant a été ordonnée, la garde de l'enfant a été confiée à l'intéressée et le droit de visite a été assuré à l'ex-époux.

K.

K.a.

Suite à plusieurs rappels de la part du mandataire de l'intéressée, le SMIG a décidé, le 6 décembre 2012, de ne pas prolonger l'autorisation de séjour de l'intéressée, ni celle de sa fille. Les époux s'étant mariés le 6 janvier 2005, leur séparation étant intervenue en avril 2008 et leur divorce en date du 21 avril 2011, le séjour légal ininterrompu de cinq ans prévu par l'article 43 de la loi sur les étrangers (LEtr), du 16 décembre 2005, ne serait, selon le SMIG, pas rempli. Ensuite, le SMIG a douté de l'intégration en Suisse de l'intéressée au sens de l'article 50, alinéa 1, lettre a LEtr, car le parcours de l'intéressée se caractériserait "par une grande instabilité professionnelle, des périodes d'activités lucratives entrecoupant des périodes de chômage et de dépendance à l'aide sociale". Son dossier contiendrait une douzaine de contrats de travail, dont "une petite moitié" auraient été conclus pour une durée indéterminée. Ensuite, le SMIG a ajouté que la dette sociale de l'intéressée s'élèverait à plus de Fr. 86'000.- (depuis février 2004) et que l'intéressée serait inscrite au registre des poursuites pour un acte de défaut de bien de Fr. 5'000.-. Le SMIG a également rejeté l'existence de raisons personnelles majeures au sens de l'article 50, alinéa 1, lettre b LEtr, affirmant que les violences conjugales subies par la recourante ne revêtiraient pas d'une intensité suffisante pour être considérées comme un cas de rigueur. Selon le SMIG, le fait qu'aucune condamnation n'ait été prononcée et que cela n'ait pas dissuadé l'intéressée d'entamer des démarches au vue du regroupement familial de ses enfants renforcerait cette conclusion. De plus, et même si l'intensité des violences conjugales devait être retenue comme suffisante, le SMIG a affirmé que la dépendance durable de l'intéressée à l'aide sociale (Fr. 86'000.- depuis février 2004 et émarge toujours à l'aide sociale) permettrait la révocation de son autorisation de séjour en vertu de l'article 62, lettre e LEtr.

K.b.

Concernant la demande de prestation de l'assurance-invalidité, déposée il y a un peu plus d'une année par la recourante, le SMIG a indiqué que, même si cette dernière était bien-fondée et qu'elle donnait lieu "au versement d'une rente avec effet rétroactif, une telle demande ne serait pas de nature à éponger la dette de l'intéressée à l'égard de l'aide sociale", ni même à lui garantir une autonomie financière la mettant à l'abri de l'aide sociale. Le SMIG a également considéré qu'étant âgée de 43 ans et étant entrée en Suisse il y a neuf ans, le séjour en Suisse de l'intéressée, durant lequel elle est d'ailleurs plusieurs fois retournée en Algérie au bénéfice de visas de retour, n'aurait pas pu la rendre totalement étrangère à son pays d'origine. Pour diverses raisons, dont la situation socioprofessionnelle des femmes en Algérie, le SMIG a constaté que le retour de l'intéressée dans son pays d'origine ne compromettrait pas gravement sa réintégration. Bien que le SMIG n'ait pas nié les problèmes de santé de l'intéressée (affection neuropsychiatrique associée à une prise médicamenteuse antidépressive et hypnotique spécifique), il a néanmoins estimé que la lecture du certificat médical présenté ne permettait pas "de se convaincre que [l'intéressée] souffre d'une atteinte à sa santé telle que l'on soit en présence d'un cas de rigueur personnelle au sens de l'article 50, alinéa 1, lettre b LEtr". De plus, le SMIG a affirmé que les soins nécessaires étaient également accessibles dans son pays d'origine.

K.c.

Concernant le fils de l'intéressée, il ne serait, selon le SMIG, pas bien intégré dans son environnement social et scolaire, serait un enfant solitaire, impulsif et qui éprouverait des difficultés d'apprentissage et de raisonnement, perdant parfois le contact avec la réalité. Dès lors, le SMIG a déclaré que tant sous l'angle de l'article 50, alinéa 1, lettre b LEtr que sous celui de l'article 30, alinéa 1 LEtr, le fils ne remplirait pas les conditions permettant l'octroi, en faveur de sa mère – l'intéressée – d'une autorisation de séjour. Concernant la fille de l'intéressée, le SMIG a reconnu certaines difficultés devant lesquelles cette dernière serait confrontée si elle devait rentrer au pays. Cependant, le SMIG a estimé que la durée de sa scolarisation en Suisse n'a pas été assez longue pour qu'elle ne puisse plus se réadapter à un autre milieu scolaire ou professionnel. De plus, son intégration socioculturelle en Suisse ne serait pas si profonde qu'elle puisse empêcher un retour dans son pays d'origine avec sa mère. Au niveau du respect de la vie privée et familiale au sens de l'article 8, paragraphe 1 de la Convention européenne des droits de l'homme (CEDH), le SMIG a déclaré que le fils, détenteur d'une autorisation d'établissement, disposerait d'un droit de présence assuré en Suisse dont la mère pourrait se prévaloir. Cependant, le SMIG a considéré que le fils étant encore à un âge où il peut facilement s'adapter, le fait que les conditions de vie et d'éducation soient meilleures en Suisse ne saurait, à lui seul, l'empêcher de suivre sa mère en Algérie, elle qui détient, conjointement avec son ex-époux, l'autorité parentale sur lui. Le SMIG a ensuite indiqué que, selon la jurisprudence, il appartiendrait en premier lieu auxdits parents "de décider si ils souhaitent que l'enfant reste en Suisse avec le parent autorisé à y demeurer ou rentrer au pays avec celui qui est renvoyé, voire avec ses deux parents" et qu'il serait généralement considéré comme "excessif, au regard de l'article 8 CEDH, d'accorder une autorisation de séjour audit parent dans le seul but de faciliter l'exercice du droit de visite du parent autorisé à demeurer en Suisse". Etant donné que le SMIG a considéré qu'il pouvait être attendu que le fils suive sa mère en Algérie, le critère de la séparation familiale n'a pas été retenu. Pour le surplus, le SMIG a allégué qu'une ingérence dans l'exercice du droit au respect de la vie privée et familiale serait de toute manière envisageable après une pesée des intérêts publics (contribution de manière durable et dans une large mesure à l'aide sociale) et des intérêts privés (cf. art. 8, § 2 CEDH). Finalement, le SMIG a déclaré que le renvoi de l'intéressée était licite et raisonnablement exigible.

L.

Par mémoire de recours du 25 janvier 2013, la recourante a demandé l'annulation de la décision du 6 décembre 2012, la prolongation de son autorisation de séjour ainsi que celle de sa fille et, subsidiairement, de renvoyer la cause au SMIG pour nouvelle décision au sens des considérants. En premier lieu, la recourante a confirmé sa détermination à trouver un travail et à ne plus dépendre de l'aide sociale. Elle a ensuite reproché au SMIG de ne pas avoir tenu compte de son état de santé et de la séparation d'avec son ex-époux qui n'a jamais versé de contribution d'entretien régulière. Ce ne serait, selon elle, qu'à partir de ce moment qu'elle a dû faire appel à l'aide sociale. Concernant les violences conjugales, la recourante a expliqué que, malgré l'absence de condamnation, le fait que l'ex-époux ait été expulsé de l'appartement conjugal pendant quatre jours démontrerait une certaine intensité. La recourante a ensuite affirmé que, vivant depuis dix ans de manière ininterrompue en Suisse, elle aurait également droit à des prestations complémentaires d'AI dans le cas où son droit à une rente lui était reconnu, lesquelles lui permettraient de rembourser une partie de sa dette sociale et lui offriraient une indépendance financière. La recourante a ensuite allégué que si le Tribunal fédéral admettait qu'un étranger puisse déduire un droit à une autorisation de séjour au sens de l'article 8, paragraphe 1 CEDH s'il existe un rapport de dépendance particulier entre lui et un proche parent au bénéfice d'un droit de présence assuré en Suisse, la question de savoir si cette jurisprudence est également applicable lorsque ce n'est pas l'étranger qui est dépendant, mais la personne au bénéfice d'un droit de présence assuré en Suisse, devait être résolue par l'affirmative. Ceci d'autant plus s'il s'agit d'un lien de parenté nucléaire (parents-enfants). Dès lors, la recourante a reproché au SMIG de ne pas avoir tenu compte de tous les éléments lors de la pesée des intérêts. La recourante a finalement ajouté que l'élément essentiel était d'éviter un nouveau traumatisme à l'enfant qui semblerait déjà avoir mal vécu le divorce de ses parents et qu'il serait donc indispensable que "cet enfant reste dans le milieu qu'il a toujours connu et continue sa scolarité ici". Pour conclure, la recourante a allégué que le sort de sa fille était intimement lié au sien et qu'il était donc nécessaire de lui prolonger son autorisation de séjour, car elle aurait passé la majeure partie de sa scolarité en Suisse et aurait donc déjà commencé à s'intégrer de manière autonome dans la réalité quotidienne suisse.

Par la même occasion, la recourante a sollicité l'octroi de l'assistance judiciaire.

M.

Dans ses observations du 25 janvier 2013, le SMIG a allégué que la recourante dépendait déjà de l'aide sociale avant la séparation du couple et que dès lors, il y aurait lieu d'admettre que les conditions d'application de l'article 62, lettre e LEtr seraient remplies dans la mesure où elle émargerait de manière durable à l'aide sociale, sans qu'aucun élément n'indique que cette situation devrait se modifier prochainement. Ensuite, le SMIG a déclaré que même si la rente AI devait être acceptée, celle-ci ne saurait suffire à éponger la dette de la recourante à l'égard de l'aide sociale. De plus, sa présence durant la procédure d'octroi d'une rente AI ne serait pas, selon le SMIG, nécessaire, puisqu'elle peut se faire représenter par un mandataire ou effectuer en Suisse des séjours touristiques. Finalement, le SMIG a affirmé que l'enfant ayant moins de dix ans, serait en âge de s'adapter à un nouvel environnement, raison pour laquelle il pouvait être attendu de lui qu'il suive sa mère à l'étranger. Le fait que l'enfant soit au bénéfice d'une autorisation d'établissement ne remettrait pas, selon le SMIG, ce raisonnement en cause.

N.

Le 10 avril 2013, la recourante a affirmé ne pas avoir de remarques à formuler au sujet des observations du SMIG du 25 février 2013 et a confirmé ses conclusions prises dans son recours. Elle a également fourni une lettre de son conseiller ORP de Neuchâtel qui, à titre privé, a attesté des "constants efforts d'intégrations" de la recourante.

O.

Les 24 avril et 19 juillet 2013, le SMIG a transmis, pour information, un certificat et une attestation médicale de la recourante, deux attestations de séjour pour la recourante, deux demandes de visas de retour (pour la recourante et pour sa fille) pour la période du 6 juillet 2013 au 29 juillet 2013, ainsi qu'un rapport de police daté du 21 juin 2013, dans lequel la recourante est soupçonnée de violation du devoir d'assistance ou d'éducation et, éventuellement, d'entrave à l'action pénale. Dans ce rapport, A. est également soupçonné de lésions corporelles simples sur un enfant, voies de fait et contrainte. La présumée victime étant la fille de la recourante, elle a renoncé à porter plainte contre son frère et contre sa mère.

Considérant en droit:

1.

Déposé dans les formes et délai légaux, le recours est recevable.

2.

2.1.

Selon l'article 43, alinéas 1 et 2 de la loi sur les étrangers (LEtr), du 16 décembre 2005, "le conjoint étranger du titulaire d’une autorisation d’établissement ainsi que ses enfants célibataires étrangers de moins de dix-huit ans ont droit à l’octroi d’une autorisation de séjour et à la prolongation de sa durée de validité, à condition de vivre en ménage commun avec lui. Après un séjour légal ininterrompu de cinq ans, le conjoint a droit à l’octroi d’une autorisation d’établissement". L'exigence du ménage commun au sens de cette disposition n'est pas applicable lorsque la communauté familiale est maintenue et que des raisons majeures justifiant l'existence de domiciles séparés peuvent être invoquées. Selon l'article 49 LEtr et l'article 76 de l'ordonnancerelative à l’admission, au séjour et à l’exercice d’une activité lucrative (OASA),du 24 octobre 2007, des raisons majeures sont notamment dues à des obligations professionnelles ou à une séparation provisoire en raison de problèmes familiaux importants.

2.2.

Dans le cas d'espèce, les époux se sont mariés le 6 janvier 2005, leur séparation est intervenue en avril 2008 et leur divorce a été prononcé le 21 avril 2011. Il y a dès lors lieu de considérer que leur mariage a duré un peu plus de trois années, empêchant la recourante de se prévaloir des articles 43 et 49 LEtr. Ce point n'est par ailleurs pas contesté par la recourante.

3.

3.1.

L'article 50, alinéa 1 LEtr prévoit qu'après dissolution de la famille, le droit du conjoint et des enfants à l’octroi d’une autorisation de séjour et à la prolongation de sa durée de validité en vertu des articles 42 et 43 LEtr subsiste dans les cas suivants (conditions cumulatives selon l'ATF 136 II 113, consid. 3.3.3): l’union conjugale a duré au moins trois ans et l’intégration est réussie (lit. a) et la poursuite du séjour en Suisse s’impose pour des raisons personnelles majeures (lit. b). Selon son alinéa 2, les raisons personnelles majeures visées à l’alinéa 1, lettre b, sont notamment données lorsque le conjoint est victime de violence conjugale, que le mariage a été conclu en violation de la libre volonté d’un des époux ou que la réintégration sociale dans le pays de provenance semble fortement compromise". L'article 74 OASA précise que l’étranger s’est bien intégré notamment lorsqu’il respecte l’ordre juridique suisse et les valeurs de la Constitution fédérale et qu'il manifeste sa volonté de participer à la vie économique et d’apprendre la langue nationale parlée au lieu de domicile. Selon la jurisprudence, l'adverbe "notamment" qui est employé à l'article 77, alinéa 4 OASA illustre le caractère non exhaustif des critères d'intégration qui sont énumérés par ces dispositions; il signale aussi que la notion "d'intégration réussie" doit s'examiner à l'aune d'une appréciation globale des circonstances. Lors de l'examen de ces critères d'intégration, les autorités compétentes disposent d'un large pouvoir d'appréciation que l'autorité de céans ne revoit qu'avec retenue. Il importe peu que l'acquisition de l'indépendance financière résulte d'un emploi peu qualifié. L'intégration réussie au sens de l'article 50, alinéa 1, lettre a LEtr n'implique donc pas nécessairement la réalisation d'une trajectoire professionnelle particulièrement brillante au travers d'une activité exercée sans discontinuité. L'essentiel en la matière est en effet que l'étranger subvienne à ses besoins, n'émarge pas à l'aide sociale et ne s'endette pas (arrêt du TF du 11 octobre 2011, 2C_430/2011, consid. 4.2 et les références citées).

3.2.

En l'occurrence, le mariage de la recourante ayant duré un peu plus de trois ans, seule la question de l'intégration doit être approfondie. Contrairement à ce qu'invoque la recourante dans son recours du 25 janvier 2013, sa dépendance à l'aide sociale ne résulte pas de sa séparation. En effet, si cette dernière est survenue en avril 2008, la recourante émargeait déjà à l'aide sociale de février 2004 à juin 2005. Depuis sa séparation, la recourante émarge à nouveau à l'aide sociale et sa dette sociale, pour elle et ses enfants mineurs, s'élève à Fr. 160'065.20 (cf. email du service de l'action sociale au SMIG du 10 décembre 2012). Il convient de préciser que la recourante est toujours au bénéfice de l'aide sociale et que le montant indiqué ne tient pas compte de la période ultérieure au 30 septembre 2012. Comme le précise la jurisprudence en la matière, l'essentiel n'est pas la réalisation d'une trajectoire professionnelle particulièrement brillante, mais est que l'étranger subvienne à ses besoins, n'émarge pas à l'aide sociale et ne s'endette pas, ce qui n'est en l'espèce manifestement pas le cas. De plus, aucun élément du dossier ne fait ressortir une quelconque intégration sociale de la recourante en Suisse. Dès lors, l'autorité de céans considère que le SMIG n'a pas abusé ni excédé de son pouvoir d'appréciation en excluant la bonne intégration de la recourante au sens de l'article 50, alinéa 1, lettre a LEtr.

4.

4.1.

L'admission d'un cas de rigueur personnel survenant après la dissolution de la communauté conjugale (art. 50, al. 1, lit. b LEtr) suppose que, sur la base des circonstances d'espèce, les conséquences pour la vie privée et familiale de la personne étrangère liées à ses conditions de vie après la perte du droit de séjour découlant de la communauté conjugale soient d'une intensité considérable. Le Tribunal fédéral a mis en lumière un certain nombre de situations dans lesquelles la poursuite du séjour en Suisse peut s'imposer. Parmi celles-ci figurent notamment les violences conjugales, lesquelles doivent revêtir une certaine intensité (ATF 138 II 393, consid. 3.1 et les références citées). Pour déterminer l'intensité des violences conjugales, le Tribunal fédéral a établi qu'il devait s'agir de maltraitances systématiques dans un but de contrôle et de pouvoir, et non pas d'une gifle occasionnelle ou d'une insulte dans le cadre d'une dispute. Il faut donc que la contrainte et ses conséquences, d'un point de vue psychique ou physique, soient d'une certaine constance ou intensité. Le Tribunal fédéral a par exemple considéré que dans le cas où, suite à une dispute, un des conjoints se retrouve dans un état psychique affaibli et présente plusieurs marques au visage mais que, par la suite, les époux se rapprochent à nouveau, l'intensité de la violence conjugale au sens de l'article 50, alinéa 1, lettre b LEtr ne saurait être retenue (arrêt du TF du 25 janvier 2011, 2C_690/2010, consid. 3.2).

4.2.

Dans le cas d'espèce, il est constant que la recourante a porté plainte à deux reprises contre son mari pour des problèmes de violences conjugales. Cependant, la première plainte, déposée en février 2005 et retirée le lendemain, n'a pas empêché la recourante, en 2007, d'entamer les démarches en vue du regroupement familial de ses enfants et de déclarer, en octobre 2007, que sa situation familiale était bonne (cf. lettre de la recourante au SMIG du 3 octobre 2007). Concernant la deuxième plainte, déposée en avril 2008, elle a abouti à un non-lieu dans la mesure où les parties ont accepté que la procédure soit suspendue pendant une période de six mois et que cet accord n'a pas été révoqué. Cependant, rien ne permet de croire que le SMIG aurait abusé ou excédé de son pouvoir d'appréciation en considérant qu'il s'agissait de deux cas isolés survenus suite à une dispute et qu'ils ne revêtissent pas de l'intensité nécessaire au sens de la jurisprudence. Le fait que les parties aient accepté de suspendre la procédure et n'aient pas souhaité révoquer cet accord renforce encore plus cette impression. Dès lors, c'est à juste titre que le SMIG n'a pas retenu les violences conjugales comme cas de rigueur personnel au sens de l'article 50, alinéa 1, lettre b LEtr.

5.

5.1.

Enfin, il reste à analyser la situation de la recourante au sens de l'article 8 CEDH. Il convient de rappeler que la Convention européenne des droits de l'homme ne garantit pas le droit de séjourner dans un Etat partie à ladite convention. Elle ne confère ni le droit d'entrer dans un Etat déterminé, ni le droit de choisir le lieu apparemment le plus adéquat pour la vie familiale. L'article 8, paragraphe 1 CEDH n'esta prioripas violé si le membre de la famille jouissant d'un droit de présence en Suisse peut quitter ce pays sans difficultés avec l'étranger auquel une autorisation de séjour a été refusée. En revanche, si le départ du membre de la famille pouvant rester en Suisse ne peut être exigé sans autre, il convient de procéder à la pesée des intérêts prévue par le paragraphe 2 de l'article 8 CEDH. Le droit au respect de la vie privée et familiale garanti par l'article 8, paragraphe 1 CEDH n'est pas absolu. Une ingérence dans l'exercice de ce droit est possible, selon le paragraphe 2 de la disposition précitée, pour autant qu'elle soit prévue par la loi et qu'elle constitue une mesure nécessaire à la sécurité nationale, à la sûreté publique, au bien-être économique du pays, à la défense de l'ordre et à la prévention des infractions pénales, à la protection de la santé ou de la morale, ou à la protection des droits et libertés d'autrui. L'application d'une politique migratoire restrictive (qui vise à assurer un rapport équilibré entre l'effectif de la population suisse et celui de la population étrangère résidante, à améliorer la situation du marché du travail et à garantir un équilibre optimal en matière d'emploi) répond à un intérêt public légitime sous l'angle de l'article 8, paragraphe 2 CEDH. La question de savoir si, dans un cas d'espèce, les autorités de police des étrangers sont tenues d'accorder une autorisation de séjour fondée sur l'article 8 CEDH doit être résolue sur la base d'une pesée de tous les intérêts privés et publics en présence, en tenant compte de l'ensemble des circonstances (arrêt du TF du 8 octobre 2012, C-3592/2010, consid. 6.3.1 et les références citées). Dans la pesée des intérêts, il faut en premier lieu tenir compte, en cas de condamnation de l'étranger pour crime ou délit, de la gravité des actes commis ainsi que de la situation personnelle et familiale de l'intéressé. Au demeurant, le fait que le parent étranger dépende de façon continue et dans une large mesure de l'aide sociale et que cette situation ne semble pas devoir évoluer favorablement, peut également constituer un motif conduisant à lui refuser une autorisation de séjour (arrêt du TF du 12 juin 2012, 2C_1005/2011, consid. 3.3 et les références citées).

5.2.

Selon la pratique de l'office fédéral des migrations, il faut admettre une dépendance durable et marquée à l'aide sociale lorsque l'étranger a touché des montants dépassant en règle générale Fr. 80'000.- et cela depuis au moins deux à trois ans. Il y avait toutefois lieu d'évaluer le caractère durable de la dépendance à l'aide sociale en établissant des prévisions. Il existe une telle dépendance lorsqu'il ne faut pas s'attendre à une amélioration de la situation au moment de la décision et que le risque de tomber à la charge de l'assistance publique allait selon toute probabilité subsister, même en tenant compte de la capacité financière des membres de la famille. La jurisprudence du Tribunal fédéral a admis une dépendance durable et dans une large mesure de l'aide sociale en présence d'une dette supérieure à Fr. 200'000.- pour une famille de cinq personnes sur une période de onze ans, pour un couple à concurrence de Fr. 80'000.- pendant cinq ans et demi (ATF 119 Ib 1 p. 6) et pour une famille de cinq personnes pour Fr. 166'000.- sur une durée de cinq ans (arrêt du TF du 25 février 2009, 2C_795/2008). La jurisprudence n'a pas fixé un montant minimum, mais il est toutefois admis qu'une dette d'assistance de Fr. 6'000.- en cinq ans ne suffit pas pour justifier la révocation d'une autorisation.Pour apprécier si une personne se trouve dans une large mesure à la charge de l'aide sociale, il faut donc tenir compte du montant total des prestations déjà versées à ce titre. Pour évaluer si elle tombe d'une manière continue à la charge de l'aide sociale, il faut examiner sa situation financière à long terme. Il convient en particulier d'estimer, en regard des capacités financières des membres de sa famille, s'il existe des risques que, par la suite, la personne se trouve à la charge de l'assistance publique. La dépendance envers l'aide sociale doit être durable, sans qu'elle doive nécessairement être actuelle. L'élément déterminant est qu'elle ait, par le passé, duré un certain temps et que l'on puisse raisonnablement craindre que des prestations d'aide sociale doivent également être versées à l'avenir. Il est donc secondaire de savoir si les besoins financiers de la famille dépassent actuellement le revenu qu'elle réalise ou si les recourants sont en mesure, actuellement, de réaliser un modeste excédent de revenus. En particulier, le fait que depuis peu, et en rapport avec la menace d'une révocation de l'autorisation d'établissement, une personne ait retrouvé un emploi temporaire et recueilli l'assurance d'être assistée financièrement par un tiers, ne rend pas invraisemblable le risque de tomber à la charge de l'assistance publique(arrêt de la Cour de droit public du 26 mars 2013, CDP 2011.462, consid. 3 et 4 et les références citées).

5.3.

Dans le cas d'espèce, la dette sociale de la recourante s'élève à Fr. 160'064.20 depuis plus de huit ans. Certes, le dossier de la recourantecontientune douzaine de contrats de travail, dont une petite moitié a été conclue pour une durée indéterminée. Cependant, elle n'a jamais eu un emploi stable depuis son arrivée sur le territoire helvétique et son parcours en Suisse permet raisonnablement de craindre que cette situation perdure. De plus, et comme cela a été démontré ci-dessus (cf. consid. 3.2), l'intégration de la recourante ne peut pas être qualifiée de bonne. Dès lors, l'autorité de céans considère que le SMIG n'a pas violé le droit, ni excédé ou abusé du pouvoir d'appréciation en considérant que les intérêts publics prévalaient sur les intérêts privés de la recourante et de son fils. Il convient de rappeler que ce dernier peut rester en Suisse vivre avec son père ou suivre sa mère en Algérie étant donné qu'il possède la nationalité algérienne et que les deux parents détiennent l'autorité parentale sur lui.

6.

6.1.

Ensuite, la recourante allègue que son état de santé exclurait un retour dans son pays d'origine. Selon la jurisprudence, des motifs médicaux peuvent, suivant les circonstances, conduire à la reconnaissance d'une raison personnelle majeure au sens de l'article 50, alinéa 1, lettre b LEtr, lorsque l'intéressé démontre souffrir d'une sérieuse atteinte à la santé qui nécessite, pendant une longue période, des soins permanents ou des mesures médicales ponctuelles d'urgence, indisponibles dans le pays d'origine, de sorte qu'un départ de Suisse serait susceptible d'entraîner de graves conséquences pour sa santé. En revanche, le seul fait d'obtenir en Suisse des prestations médicales supérieures à celles offertes dans le pays d'origine ne suffit pas (arrêt du TF du 22 février 2012, 2C_959/2011, consid. 3.2 et les références citées).

6.2.

En l'occurrence, le certificat médical ne démontre pas que le départ de Suisse de la recourante serait susceptible d'entraîner de graves conséquences pour sa santé. En effet et comme l'a relevé le SMIG, il y a lieu d'admettre que les soins nécessaires à la recourante seraient accessibles en Algérie (cf. Home office, Country of Origin Information Report: Algeria, 3 novembre 2011, pp. 111 à 115:http://www.refworld.org/cgi-bin/texis/vtx/rwmain?page=country&category=COI&publisher=&type=&coi=DZA&rid=&dcid=4eba9fc12&skip=0). Il est l'occasion de rappeler que le dernier certificat médical présenté par la recourante fait part de sa capacité à effectuer une activité de 20% à 30% dans un "travail adapté". Au vu de ces éléments, la recourante ne saurait invoquer un cas de sérieuse atteinte à la santé au sens de l'article 50, alinéa 1, lettre b LEtr.

Finalement, aucun élément versé au dossier ne démontrerait que le renvoi de Suisse de la recourante se heurterait à un cas d'inexécutabilité au sens de l'article 83 LEtr. Son renvoi est donc possible, licite et raisonnablement exigible.

7.

En conclusion l'autorité de céans considère que le SMIG n'a pas violé le droit, plus particulièrement l'excès ou l'abus de son pouvoir d'appréciation, en rendant sa décision du 6 décembre 2012. Le recours du 25 janvier 2013 est donc rejeté.

8.

8.1.

Concernant la demande d'assistance judiciaire déposée par la recourante en date du 25 janvier 2013, il convient de vérifier siles conditions légales d'octroi sont remplies. Selon les articles 60a ss de la loi sur la procédure et la juridiction administratives (LPJA), du 27 juin 1979, la recourante ne doit pas disposer de ressources suffisantes et sa cause ne doit pas paraître dénuée de chance de succès (ATF 133 III 614, consid. 5). Une cause est dénuée de chance de succès, au sens de la jurisprudence, lorsque les perspectives de la gagner sont notablement plus faibles que les risques de la perdre et qu'elles ne peuvent guère être considérées comme sérieuses, de sorte qu'une personne raisonnable et de condition aisée renoncerait à s'y engager en raison des frais qu'elle s'exposerait à devoir supporter (ATF 119 Ia 251; 109 Ia 5). L'appréciation doit être faite en fonction des circonstances au moment de la requête d'assistance administrative (ATF 128 I 236; 125 II 275; 122 I 6).

8.2.

La recourante émargeant à l'aide sociale, la condition de l'indigence doit être considérée comme remplie.S'agissant des chances de succès, le rejet du recours ne signifie pas nécessairement qu'il était d'emblée dénué de telles chances. Compte tenu de la nature des questions juridiques soulevées, cette condition doit également être considérée comme réalisée. Dès lors, l'assistance judiciaire est accordée à la recourante.

9.

Partant, il y a lieu d'accorder à la recourante l'assistance en matière administrative et d'admettre la désignation d'un avocat chargé du mandat d'assistance en la personne de Me Laurent Obrist, avocat à Neuchâtel. Conformément à l'article 21 de la loi d'introduction du code de procédure civile (LI-CPC), du 27 janvier 2010, le Département conviendra avec la bénéficiaire de l'assistance des modalités de remboursement à l'issue de la procédure.

10.

Au vu du sort de la cause, un émolument de Fr. 500.- et des frais s'élevant à Fr. 50.-, soit un total de Fr. 550.-, sont mis à la charge de la recourante. Ce montant est avancé par l'Etat dans le cadre de l'assistance en matière administrative.

11.

Au vu du sort de la cause, il n'est pas alloué de dépens.

Par ces motifs, le conseiller d'Etat, chef du Département de l'économie et de l'action sociale,

décide:

1.Le recours du 25 janvier 2013 est rejeté;

2.Un nouveau délai de départ sera imparti à la recourante par le SMIG pour quitter le territoire suisse;

3.L'assistance en matière administrative est octroyée à la recourante;

4.Me Laurent Obrist, avocat à Neuchâtel, est désigné en qualité d'avocat chargé du mandat d'assistance;

5.Le montant de l'indemnité due à Me Obrist sera arrêté par l'autorité de céans une fois en possession du mémoire d'activités et des débours de ce dernier;

6.Un émolument de Fr. 500.- et des frais s'élevant à Fr. 50.-, soit un total de Fr. 550.-, sont mis à la charge du recourant, montant alloué par l'Etat dans le cadre de l'assistance en matière administrative;

7.Il n'est pas alloué de dépens.

Neuchâtel, le 21 août 2013

Jean-Nathanaël Karakash